1Dans la célèbre gravure bien connue d’Albrecht Dürer, Melencolia, figure un carré magique d’ordre n = 4 de 16 cases, au-dessous d’une cloche Figure 1 Melencolia, gravure sur cuivre d’Albrecht Dürer 1471-1528 1514, musée Condé, Chantilly WikiCommons 2La Melencolia est l’objet de nombreux commentaires ; notre propos n’est pas d’en ajouter encore un, mais de détailler les propriétés mathématiques du carré magique en cause les pages qui suivent restent donc exclusivement centrées sur le carré magique de Dürer. Figure 1bis détail figure 1. 1 D’après Klibansky, Panofsky & Saxl, Saturne et la mélancolie, Gallimard, Paris, 1989, pp. 503-504. 3Ce qui n’empêche pas de penser qu’Albrecht Dürer s’est peut-être directement inspiré du carré magique qu’il a représenté, pour dénommer sa gravure Melencolia c’est en effet le carré de Jupiter, qui gouverne le tempérament sanguin, et combat l’ascendance de Saturne, qui détermine le tempérament mélancolique1. 4Durant ses séjours en Italie, en 1494, puis un peu plus tard en 1505, Albrecht Dürer a vraisemblablement rendu visite à Fra Luca Pacioli 1445-1517 à Venise, qui publiera quelques années plus tard son ouvrage principal, De divina proportione Venise, 1509. Albrecht Dürer a pu avoir connaissance du manuscrit de Pacioli, et ce dernier a pu lui faire bénéficier de son savoir mathématique, et en particulier de ses connaissances en matière de carrés magiques. 5Albrecht Dürer a pu avoir aussi connaissance des recherches de Henricus Cornelius Agrippa, né à Cologne en 1486 †1535, contemporain et compatriote d’Albrecht Dürer, qui écrit dès 1509 les bases de son ouvrage De Occulta Philosophia libri tres, qui ne paraîtra qu’à partir de 1530 en édition complète à Cologne en 1533 le manuscrit de Cornelius avait cependant circulé au moins entre 1509 et 1514 – on sait que Rabelais en a connaissance à cette époque – et Albrecht Dürer a pu s’en inspirer. On trouve en effet dans l’ouvrage de Henricus Cornelius l’une des formes du Carré de Dürer » après inversion des colonnes et permutation des colonnes centrales 6À moins que Henricus Cornelius se soit lui-même référé à la Melencolia d’Albrecht Dürer ?... En tout cas, le carré magique de la Melencolia est la seule approche connue d’Albrecht Dürer en ce qui concerne les carrés magiques. Melencolia dans l’œuvre de Dürer La célèbre gravure, souvent reproduite, a été exécutée en 1514 la date figure dans les deux cases centrales de la dernière ligne du carré magique placé en haut et à droite de la gravure, au-dessous de la cloche. Dürer était doué d’un esprit très ouvert, curieux de tout. Il s’est intéressé aux mathématiques, entre autres, notamment à la géométrie. Il a publié en 1525 un manuel de géométrie pratique, sous le titre Underweysung der Messung Instructions pour la mesure, dans lequel il donne de nombreuses constructions pratiques de certaines figures, dont les polygones réguliers ; mais il n’aborde pas les carrés magiques. Le symbolisme de Melencolia a intéressé nombre d’observateurs et critiques. Le personnage principal ailé, méditatif, assis nonchalant et triste, devant son travail en cours, les outils dispersés, la balance, la cloche, le sablier, le carré magique normal de 16 cases, le polyèdre régulier, l’angelot, ainsi que bien d’autres détails, révèlent un état d’esprit, et une certaine tournure de pensée on a dit que Melencolia était un autoportrait spirituel de Dürer. Le peintre et graveur ne s’est jamais exprimé sur son œuvre, laissant à chacun le soin de l’interpréter. On regroupe souvent Melencolia avec deux autres gravures de Dürer de même format et de même facture Le Chevalier, la Mort et le Diable 1513 et Saint Jérôme dans son étude 1514, ces trois œuvres formant une sorte de trilogie, comportant chacune un sablier, symbole de l’écoulement du temps, inéluctable, insaisissable, cause première de l’angoisse de ce génie troublé ». Figure 2 Autoportrait à la fourrure, 1500 Munich, Alte Pinakothek WikiCommons Une construction simple du Carré de Dürer Soit le carré fondamental ou carré naturel d’ordre n = 4 ; On permute ou échange, les nombres situés sur les deux diagonales principales, et symétriques par rapport au centre de la grille ; On permute les deux colonnes centrales. Une autre méthode 7Voici une autre de construction du carré magique de Dürer, moins simple, mais néanmoins structurée Soit le carré naturel alterné d’ordre n = 4 on observe que quatre nombres, 9, 15, 14 et 12 sont déjà à leur place définitive ; on n’y touchera pas. Dans les colonnes du carré naturel alterné 1 dans la grille d’ordre n = 4 et dans la grille centrale d’ordre n = 2, on permute les nombres situés aux extrémités des colonnes latérales 13 avec 4, 1 avec 16 ; 6 avec 11, 7 avec 10 Dans les lignes de la grille auxiliaire 2 on permute les nombres situés aux extrémités des lignes 2 et 4, ainsi que les deux nombres situés au centre des lignes 1 et 3. 8Mais il y a encore d’autres méthodes, dites des permutations, des pointages, des inversions… Les huit formes du carré magique de Dürer 9Nota – On pourrait assimiler les symétries à des rotations dans l’espace. Le carré magique de Dürer est de type associé 10Dans un carré magique de type associé d’ordre n, rappelons-le, la somme P des nombres complémentaires en symétrie par rapport au centre est constante, et égale à P = n2 + 1. C’est la constante de polarisation ». C’est bien le cas du carré magique de Dürer, avec la constante de polarisation P = 17 2 In Divers ouvrages de mathématiques et de physique, Imprimerie royale, Paris, 1693, article de Frén ... 11Ainsi le carré magique de Dürer fait-il partie des 48 carrés magiques de type associé de la classification de Bernard de Frénicle 1605 ?-1675, Des Quarrez magiques2, sous le n° 175, parmi les 880 carrés magiques de base d’ordre n = 4. 12Rappelons que les carrés magiques de type associé sont auto-complémentaires. Une mosaïque du carré de Dürer 13Par mosaïque, on entend le pochage des cases de même parité, d’après les recherches de Bernard Gervais. La mosaïque du carré magique de Dürer ne comporte qu’un seul axe de symétrie la médiane horizontale. La géométrie du carré de Dürer 14Voici quelques connections dans le carré magique d’Albrecht Dürer faisant apparaître de mystérieux hexagones entrelacés… 15Ainsi, à gauche 1, 2, 3, 4 ; 5, 6, 7, 8; 9, 10, 11, 12 ; 13, 14, 15, 16. 16On divise le carré magique d’Albrecht Dürer en quatre quartiers. On observe alors dans chaque quartier, que les couples de nombres pairs et les couples de nombres impairs, sont toujours opposés diagonalement. La polymagie du carré de Dürer 17La notion générale de polymagie est relativement récente. 18Dans le carré magique normal d’ordre n = 4, outre les dix conditions de magie normale, intéressant des alignements de 4 nombres, sur les 4 lignes, les 4 colonnes et les deux diagonales principales, on dénombre dans le carré de Dürer pris pour exemple, 76 combinaisons de quatre nombres non alignés dont la somme est magique, soit M4 = 34 ainsi au total, la polymagie du carré de Dürer compte 86 combinaisons magiques de quatre nombres. 19Rappelons que le nombre total de combinaisons de m termes pris p à p est donné par la relation suivante \[C_m^p = \frac{{m\left {m - 1} \right\left {m - 2} \right \ldots \left {m - p + 1} \right}}{{p!}}\] 20Ainsi, dans le carré magique de Dürer, le nombre total de combinaisons de m = n2 = 16 termes, pris p à p, avec p = 4, est \\;C_{16}^4\ = 1820. 21La planche ci-après permet de visualiser ces 86 combinaisons magiques dans le carré magique de Dürer. Parmi celles-ci, on remarque huit permutations figurées magiques cadres renforcés. Planche 1 Une visualisation sur le Carré de Dürer » des 86 combinaisons des 16 premiers entiers pris 4 à 4, dont la somme des 4 termes est égale à M4 = 34. Un problème d’arithmétique 22La polymagie du carré de Dürer, d’ordre n = 4, correspond au problème d’arithmétique suivant 23Soit la série des n2 = 16 premiers entiers ; on se propose de trouver toutes les combinaisons de ces 16 nombres pris n à n avec n = 4, dont la somme est constante et égale à Mn = \\frac{{n\left {{n^{\rm{2}}} + 1\;} \right}}{2}\, c'est-à-dire égale à la constante magique du carré magique normal d’ordre n = 4. 24Si l’on peut encore résoudre manuellement ce problème, et trouver les 86 combinaisons en question, ce n’est plus possible pour n > 4 on doit avoir recours à un logiciel ad hoc. 25Voici quelques résultats dont la dernière ligne est calculée par informatique 3 Soit 2n+2 n lignes, n colonnes, et 2 diagonales dont la somme constante constitue la magie nor ... n 3 4 5 6 \C_{{n^2}}^n\ 84 1820 53 130 1 947 792 \\Sigma \ = Mn 15 34 65 111 Conditions de la magie normale3 8 10 12 14 Conditions de polymagie 8 86 1 394 32 134 Une généralisation 26Cette polymagie du carré de Dürer » peut être observée dans toute grille carrée de 16 cases remplie avec la suite des entiers depuis 1 jusqu’à 16, dans un ordre quelconque c’est vrai en particulier pour le carré naturel d’ordre n = 4, et bien sûr pour tout carré magique normal d’ordre n = 4. 27Dans le cas particulier du carré naturel d’ordre n = 4, toutes les 24 permutations figurées, qui figurent parmi les 86 combinaisons magiques, sont elles-mêmes magiques, ce qui n’est pas le cas général. Voir la planche ci-dessous, avec les 24 permutations figurées magiques en cadres renforcés. Planche 2 Visualisation sur le Carré Naturel » d’ordre n = 4, des 86 combinaisons des 16 premiers entiers pris 4 à 4, dont la somme des 4 termes est égale à M4 = 34. Multimagie 4 cf. Christian Boyer, Les premiers carrés tétra et pentamagiques », Pour la Science, n°286, Août 2 ... 28On ne confondra pas la polymagie avec la multimagie, cette dernière caractérisant° un carré magique qui reste magique lorsque l’on élève à une même puissance chacun de ses termes puissance 2, c’est la bimagie ; 2 et 3 , la trimagie ; 2, 3 et 4, la tétramagie ; 2, 3, 4 et 5, la pentamagie4… La polymagie bi-axiale dans le carré magique d’Albrecht Dürer 29Dans le cadre de la polymagie générale dans le carré magique et le carré naturel, on considère le cas particulier de la polymagie des formations de n termes qui présentent deux axes de symétrie orthogonaux. Cette forme de polymagie a été mise en lumière par Arsène Durupt. 30Dans le cas du carré magique de Dürer, et pour toute grille d’ordre n = 4, on compte dix formations bi-axiales ayant deux axes de symétrie orthogonaux, que l’on repère aisément ci-dessous 31Les implantations de ces formations dans la grille d’ordre n = 4, sont fixes, sauf la formation centrale n° 24 qui peut se placer dans l’un ou l’autre des quatre quartiers dans ce cas, les axes de symétrie sont décalés par rapport à la grille de 16 cases. 32Dans cette perspective, les carrés magiques d’ordre premier et de type associé retiennent notre attention – poursuivons avec eux. Une première approche le carré magique d’ordre n = 5 33Parmi les formations de n = 5 termes présentant deux axes de symétrie orthogonaux dans la grille d’ordre n = 5, on trouve tout d’abord deux pentaminos, un cruciforme, A, et un bâton », B, auxquels on peut ajouter deux autres formations cruciformes 34Le pentamino B correspond à la magie des lignes et des colonnes. 35On peut promener » les formations A et C dans le grille du carré magique de type associé d’ordre n = 5, toutes les implantations sont magiques, de somme M5 = 65 celle du carré lui-même. On dénombre neuf implantations magiques pour chacune de ces formations. Exemples pour la formation A 36Quant à la dernière formation D, on compte quatre implantations magiques 37On constate que les formations qui sont centrées dans la grille, sont toujours magiques ; on les reconnait facilement. Deuxième approche le carré magique d’ordre n = 7 38Les formations de 7 termes, présentant deux axes de symétrie orthogonaux dans la grille d’ordre n = 7, sont relativement limitées en nombre on dénombre six formations principales essentielles, qui constituent la majeure partie des implantations dans la collection ci-dessous, soit 74 implantations. 39On peut dresser le tableau récapitulant ces 74 implantations Case centrale de la forme A B C D E F 2 ; 21 ; 33 ; 45 x x 8 ; 32 ; 7 ; 24 x x 48 ; 29 ; 17 ; 5 x x 42 ; 18 ; 43 ; 26 x x 1 ; 13 ; 37 ; 49 x x x x x x 25 x x x x x x 20 ; 30 x x x 38 ; 12 x x x Totaux 74 25 21 5 9 7 7 D’après Arsène Durupt 40Dans le carré magique normal de type associé pris pour exemple, voici les diverses implantations magiques de ces formations bi-axiales on en compte moins d’une centaine. Parmi celles-ci, on reconnait facilement celles qui sont centrées dans la grille, et qui sont toujours magiques de somme 175, elle-même somme du carré magique. 41On pourrait bien sûr continuer notre exploration par la grille d’ordre n = 11… La polymagie circulaire dans le carré magique d’Albrecht Dürer 42Dans le carré magique de Dürer, il y a de nombreuses formations de 4 termes, qui peuvent être inscrites sur une circonférence on en compte ainsi 28. Voici les numéros correspondants dans la planche de visualisation du Carré de Dürer, que l’on repérera facilement voir planche 1 à laquelle ces numéros se rapportent 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26 ; 27 ; 28 ; 29 ; 30 ; 31 ; 32 ;33 ; 34 ; 35 ; 36 ; 37 ; 38 ; 39 ; 40 ; 51 ; 52 ; 53 ; 54 ; 55 ; 56. 43Ces formations sont matérialisées dans les grilles ci-dessous 44On remarque que certains cercles se superposent, ainsi dans les formations des grilles 11, 12, 13, 14 ; 51 et 52, 53 et 56 ; 54 et 55 ; ce qui réduit à 22 le nombre de cercles distincts. Le carré magique d’Albrecht Dürer en numération binaire 45Dans cette manip, on considère le carré de Dürer réalisé avec la série des entiers consécutifs de 0 à 15. 46Rappelons la numération binaire correspondante 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 47Dans le carré de Dürer ainsi modifié ci-dessus, on remarque 1 que les chiffres des termes symétriques par rapport à la première diagonale A B, sont eux-mêmes en symétrie l’un est l’envers de l’autre ; 2 que les chiffres des termes symétriques par rapport à la seconde diagonale C D sont miroirs l’un de l’autre les chiffres 1 et 0 sont intervertis. Des couples isométriques » dans les permutations figurées du carré de Dürer 48Rappelons, pour mieux comprendre cette propriété, les 24 permutations figurées de 4 termes voir les correspondances chiffrées sous chaque carré 49Dans le carré de Dürer, les quatre termes qui correspondent par superposition terme à terme à l’une ou l’autre des permutations d’ordre n = 4 figurées ci-dessus, forment deux couples de diverses façons trois. Or il y a toujours deux couples dont les sommes des nombres sont égales grilles ci-dessous. Cette propriété est souvent occultée. La magie géométrique du carré magique de Dürer 50Dans l’une des formes du carré dit géomagique », ou carré magique géométrique », les nombres de la grille du carré magique numérique classique, dit le catalyseur », sont remplacés par des polyminos de telle façon que l’assemblage des polyminos des lignes, des colonnes et des deux diagonales principales, pavent une grille d’assemblage carrée, rectangulaire ou de forme géométrique ayant des caractéristiques constantes, dite le module ». 51Dans l’exemple qui suit, le catalyseur est le carré magique de Dürer. Les polyminos des lignes, des colonnes et des deux diagonales principales dont l’ordre correspond aux nombres du catalyseur, pavent le module 6 x 6 = 36, dans lequel sont implantés deux cases qui doivent rester vierges, pour rétablir la constante magique de 34. On peut trouver nombre de solutions Y a-t-il d’autres carrés de Dürer » ? 52Y a-t-il d’autres carrés magiques d’ordre n = 4, dont la date de 1514 apparaît dans les deux cases centrales de la dernière ligne de la grille ? 53On peut tout d’abord effectuer quelques manips sur le carré d’origine II – Permutation des deux colonnes latérales de la grille I ; III – Permutation des deux lignes médianes de la grille I ; IV – Permutation des deux lignes médianes de la grille II ; V – Permutation des deux colonnes latérales de la grille II. 54Et parmi les 48 carrés magiques de type associé d’ordre 4 de la classification de Frénicle, on trouve quatre grilles qui répondent à la question, soit après une rotation, soit après permutations de lignes ou de colonnes ce sont les n° 112, 113, 175 et 176 5 René Descombes, Le Carré magique du Pape Léon III », BibNum, septembre 2014. 55Certains affirment que le carré magique d’Albrecht Dürer dans la Melencolia, serait la première apparition d’un carré magique en Occident, donc en 1514, il y a cinq siècles. Ceci est inexact, car on trouve un carré magique normal d’ordre n = 9, dans l’Enchiridion du pape Léon III, diffusé à Rome en 795, bien antérieurement à la Melencolia5. 56Le carré magique d’Albrecht Dürer, unique incursion du célèbre peintre et graveur dans le domaine des carrés magiques, est doué de propriétés suffisamment remarquables pour en faire un modèle souvent pris pour exemple dans la littérature consacrée aux carrés magiques et à leurs implications.

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